Question

Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=e^{x}\left(x^{2}-4 x+1\right)$.
5p a) Arătaţi că $f^{\prime}(x)=e^{x}(x-3)(x+1), x \in \mathbb{R}$.
5p b) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $f$, în care tangenta la graficul funcţiei $f$ este paralelă cu dreapta de ecuație $y=2020$.
$5 p$ c) Determinați valorile reale ale lui $a$, știind că graficul funcției $f$ intersectează dreapta de ecuație $y=a$ în exact trei puncte.

Answer 1

$f(x)=e^{x}\left(x^{2}-4 x+1\right)$

a)

Pentru a deriva folosim formula de derivare

(f×g)=f'g+fg'

$f'(x)=(e^{x}\left(x^{2}-4 x+1\right))'=e^x(x^2-4x+1)+(2x-4)e^x=e^x(x^2-2x-3)$

x²-2x-3=x²-1-2x-2=(x-1)(x+1)-2(x+1)=(x+1)(x-3)

$f'(x)=e^x(x+1)(x-3)$

b)

Daca doua drepte sunt paralele, atunci pantele sunt egale

y=2020

m=0 (m-panta)

Fie A(a,f(a)) punctul in care este tangenta la graficul functiei f

f'(a)=m

f'(a)=0

$f'(a)=e^a(a-3)(a+1)=0$

De aici avem a-3=0

a=3

si a+1=0

a=-1

Abscisele punctelor situate pe graficul funcției , în care tangenta la graficul funcţiei  este paralelă cu dreapta de ecuație y=2020 sunt -1 si 3

c)

Facem monotonia functiei f

f'(x)=0

eˣ(x-3)(x+1)=0

x=3 si x=-1

Facem tabel semn

x        -∞        -1        3       +∞

f'(x)   + + + + +0- - - -0+ + + +

f(x)        ↑      f(-1) ↓ f(3)   ↑

                     $\frac{6}{e}$        $-2e^3$

f este crescatoare pe (-∞,-1)∪(3,+∞) si descrescatoare pe (-1,3)

$f(-1)=e^{-1}(1+4+1)=e^{-1}\times6=\frac{6}{e} \\\\f(e)=e^3(9-12+1)=-2e^3$

Calculam limita spre -∞ si +∞ din functia noastra

$\lim_{x \to -\infty} e^x(x^2-4x+1)=e^{-\infty}(\infty+\infty)=0\\\\ e^{-\infty}=\frac{1}{e^{\infty} }=\frac{1}{\infty} =0$

$\lim_{x \to \infty} e^x(x^2-4x+1)=+\infty$

Graficul functiei f intersecteaza dreapta de ecuatie y=a in 3 puncte⇒ f(x)=a are 3 solutii reale

$a\in(0,\frac{6}{e})\bigcap(-2e^3,\frac{6}{e})\bigcap(-2e^3,+\infty) \\\\a\in (0,\frac{6}{e} )$

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/3464284

#BAC2022

#SPJ4