Question

Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x(x+2) e^{x}$.

$5 \mathbf{p}$ a) Arătați că $\int_{0}^{3} \frac{f(x)}{e^{x}} d x=18$.

$5 p$ b) Calculați $\int_{0}^{1} f(x) d x$.

5p c) Determinaţi numărul natural nenul $n$, ştiind că $\int_{1}^{n} \frac{(x+1) e^{x}}{f(x)} d x=\frac{3 \ln 2}{2}$.

Answer 1

$f(x)=x(x+2) e^{x}$

a)

$\int\limits^3_0 {\frac{x(x+2)e^x}{e^x} } \, dx =\int\limits^3_0 {x(x+2)} \, dx =\int\limits^3_0 {x^2+2x} \, dx$

Desfacem in doua integrale si obtinem:

$\int\limits^3_0 {x^2} \, dx +\int\limits^3_0 {2x} \, dx=\frac{x^3}{3} |_0^3+x^2|_0^3=9+9=18$

b)

$\int\limits^1_0 {x(x+2) e^{x}} \, dx =\int\limits^1_0 {x^2e^x+2xe^x} \, dx$

Desfacem in doua integrale si obtinem:

$\int\limits^1_0 {x^2e^x+2xe^x} \, dx =\int\limits^1_0 {x^2e^x} \, dx +\int\limits^1_0 {2xe^x} \, dx$

Le luam separat integralele si calculam:

$\int\limits^1_0 {x^2e^x} \, dx =I$

Am notat integrala noastra cu I si o vom rezolva prin integrare prin parti

f=x²                    f'=2x

g'=eˣ                  g=eˣ

$I=x^2e^x|_0^1-2\int\limits^1_0 {xe^x} \, dx$

Ne intorcem la integrala noastra si inlocuim ce am obtinut mai sus

$\int\limits^1_0 {f(x)} \, dx =x^2e^x|_0^1-2\int\limits^1_0 {xe^x} \, dx +2\int\limits^1_0 {xe^x} \, dx =x^2e^x|_0^1=e$

c)

$\int\limits^n_1 {\frac{(x+1)e^x}{x(x+2)e^x} } \, dx =\int\limits^n_1 {\frac{x+1}{x(x+2)} } \, dx=\int\limits^n_1 {\frac{x+1}{x^2+2x} } \, dx$

Observam ca (x²+2x)'=2x+2=2(x+1)

Vom adauga un 2 si il "vom da inapoi"

$\frac{1}{2} \int\limits^n_1 {\frac{2(x+1)}{x^2+2x} } \, dx=\frac{1}{2}ln(x^2+2x)|_1^n=\frac{ln(n^2+2n)}{2}-\frac{ln3}{2}$

$\frac{ln(n^2+2n)}{2}-\frac{ln3}{2}=\frac{3ln2}{2}$

$ln\frac{n^2+2n}{3}=ln2^3\\\\ \frac{n^2+2n}{3}=8\\\\n^2+2n-24=0$

Δ=4+96=100

$n=\frac{-2+10}{2} =4$

n=4

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/1021443

#BAC2022

#SPJ4