Question

Se consideră funcțiile f,F:
$(0 \infty ) - >r\: f(x) = \sqrt{2x + 1 \: }$
și F(x)=
$\frac{2x + 1}{3} \sqrt{2x + 1}$
a.Demonstrați că funcția F este o primitivă a funcției f.
b.Determinați aria suprafeței plane cuprunse între axa Ox,graficul funcției f și dreptele x=4 și x=12.

Answer 1

Pt ca F sa fie primitiva a lui f, trebuie ca F' = f;
F'(x) = $(\frac{2x+1}{3}* \sqrt{2x+1} )'$
se aplica (fg)' = f' * g + f * g'
si $(\sqrt{u})' =u'* \frac{1}{2 \sqrt{u}}$
$\frac{1}{3}(2* \sqrt{2x+1}+(2x+1)* \frac{2}{2* \sqrt{2x+1}})$
$\frac{1}{3}(\frac{2*\sqrt{2x+1}* \sqrt{2x+1}+2x+1}{\sqrt{2x+1}})$
$\frac{1}{3}(\frac{2*(2x+1)+2x+1}{\sqrt{2x+1}}) = \frac{1}{3}(\frac{3*(2x+1)}{\sqrt{2x+1}})$
$\frac{(2x+1)}{\sqrt{2x+1}}= \sqrt{2x+1}$
=> F' = f, F primitiva a lui f
b) aria suprafetei e integrala definita a lui f intre 4 si 12, iar primitiva F o cunoastem deja:
$\int\limits^a_b {x} \, dx = F(b) - F(a)$
deci aria = F(12) - F(4) = 
$\frac{2*12+1}{3}* \sqrt{2*12+1} - \frac{2*4+1}{3}* \sqrt{2*4+1}$
$\frac{25}{3}* \sqrt{25} - \frac{9}{3}* \sqrt{9}= \frac{125}{3} - \frac{27}{3} = \frac{98}{3}$