Question

Se consideră în Z2[x] polinomul $f=x^3 + x^2 + x + 1$ (cu căciuliță).
a) Aflați rădăcinile lui f în Z2[X].
b) Arătați că f nu se divide cu polinomul g = X.
c) Demonstrați că polinomul h=$x^4+1$ se divide cu polinomul f.

Answer 1

a)

$f = x^3+x^2+x+1 \\ \\ f = x(x^2+1)+x^2+1 = (x^2+1)(x+1)\\ \\(1)\quad x^2 +1 =0 \Rightarrow x^2+1-2 = 0 \Rightarrow x^2-1 = 0 \Rightarrow\\ \Rightarrow (x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow (x+2-1)(x+1) = 0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow (x+1)(x+1) = 0 \Rightarrow (x+1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1\\ \\ (2)\quad x+1 = 0 \Rightarrow x = 1 \\ \\ \text{Singura radacina este }x = 1$

b)

$\text{f se divide cu g = x daca f(solutia lui g) = 0}\\ \\ g = 0 \Rightarrow x = 0 \\ \\ f = x^3+x^2+x+1\\ \\ f(0) = 0+0+0+1 = 1\neq 0$

c)

$h = x^4+1 \text{ se divide cu polinomul f, daca h(radacina lui f) = 0}\\ \\ \text{Am aflat ca singura radacina a lui f este }x = 1 \\ \\ h(1) = 1^4+1 = 1+1 = 2 = 0\\ \\ \Rightarrow h = x^4+1 \text{ se divide cu polinomul f}$