Question

Se considera junctia f:Z->Z, f(x)=2(la puterea x) +2 (la puterea -x). Demonstreati ca f(3)-f(1)+f(-1)-f(-3)=0

Answer 1

$f(3)=2^3+2^{-3} \\ f(1)=2^1+2^{-1} \\ f(-1)=2^{-1}+2^1 \\ f(-3)=2^{-3}+2^3 \\ \\ f(3)-f(1)+f(-1)-f(-3)= \\ \\ =(f(3)-f(-3))-(f(1)-f(-1))=$

$=(2^3+2^{-3}-2^{-3}-2^3)+(2^1+2^{-1}-2^{-1}-2^{1})= \\ \\ =0+0= \\ \\ =0.$

Answer 2

[tex]\text{ Se arata ca functia $f$ este para: }\\f(-x)=2^{-x}+2^{-(-x)}=2^{-x}+2^x=2^x+2^{-x}=\\=f(x),\forall x\in\mathbb{Z} \\ \text{De aici rezulta ca functai $f$ este para, de unde:}\\ f(1)=f(-1)\Rightarrow -f(1)+f(1)=0\\ f(3)=f(-3)\Rightarrow f(3)-f(-3)=0\\ \text{Deci }\\ f(3)-f(1)+f(-1)-f(-3)=0[/tex]