Question

Se considera matricea
|1 3 2 |
A= |3 9 6 |
|2 6 4 |
aratati ca A^n= 14^n-1 * A, pentru orice n >=(mai mare sau egal) 2

Answer 1

A²=A·A=14·A=14^(2-1)·A
A³=A²·A=196·A=14²·A=14^(3-1)·A
.........................................................
Intuim ca : A^n=14^(n-1)·A si demonstram prin inductie.
Fie P(n):"A^n=14^(n-1)·A" , n≥2
1)P(2): A²=14^(2-1)·A=14·A (evident din calculul lui A²)
2)P(n)⇒P(n+1),adica presupunem P(n) adevarata si demonstram ca P(n+1) este adevarata oricare ar fi n≥2, unde:
P(n+1):      " A^n+1=14^n·A "
A^(n+1)=A^n·A=conf.P(n) adev.=14^(n-1)·A·A=14^(n-1)·A²=conf. P(2) adev.=
=14^(n-1)·14·A=14^n·A ⇒P(n+1) este adevarata pentru orice n ≥2.
Deci conform principiului inductiei complete P(n) este adevarata oricare ar fi n ≥2, deci A^n=14^(n-1)·A