Question

Se considera matricea
A(x)=1 x x
          x 1 x
          x x 1

x=? det (A(x))=0

Answer 1

$det(A)=1+ x^{3}+x^{3}-x^2-x^2-x^2=1+2x^3-3x^2$
Se obs ca o sol este x=1
Impartim polinomul asociat la x-1, cu schema lui Horner:

    |     2              -3               0                               1
------------------------------------------------------------------------------------
1  |     2           2*1-3=-1       1*(-1)+0=-1           1*(-1)+1=0
-----------------------------------------------------------------------------------
1  |     2           2*1-1=1        1*1-1=0

Deci x=1 e sol dubla.
2x+1=0⇒ x= -1/2 


R: x∈{-1/2, 1}


 

Answer 2

[tex]\it \Delta = \begin{vmatrix}1\ \ \ \ \ x\ \ \ \ \ x \\\;\\ x\ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ x \\\;\\ x\ \ \ \ \ x\ \ \ \ \ 1\end{vmatrix} [/tex]

Adunăm coloanele 2 și 3 la coloana 1 și avem:


$\it \Delta = \begin{vmatrix}2x+1\ \ \ \ \ x\ \ \ \ \ x \\\;\\ 2x+1\ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ x \\\;\\ 2x+1\ \ \ \ \ x\ \ \ \ \ 1\end{vmatrix} = (2x+1) \begin{vmatrix}1\ \ \ \ \ x\ \ \ \ \ x \\\;\\ 1\ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ x \\\;\\ 1\ \ \ \ \ x\ \ \ \ \ 1\end{vmatrix}$

Scădem prima linie din a doua și din a treia linie și rezultă:


$\it (2x+1) \begin{vmatrix}1 \ \ \ \ \ x\ \ \ \ \ \ \ x \\\;\\ \ 0\ \ \ \ 1-x\ \ \ \ \ 0 \\\;\\ \ \ 0\ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ 1-x\end{vmatrix} =(2x+1)(1-x)^2$

[tex]\it (2x+1)(1-x)^2=0\Rightarrow\begin{cases} \it 2x+1=0 \Rightarrow x=-\dfrac{1}{2 \\\;\\ \it 1-x=0} \Rightarrow x = 1\end{cases}[/tex]