Question

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & 1 \\ 2 & a+1 & a \\ a & 6 & 4\end{array}\right)$ şi sistemul de ecuați $\left\{\begin{array}{l}2 x+2 y+z=3 \\ 2 x+(a+1) y+a z=3 \text {, unde } \\ a x+6 y+4 z=a+3\end{array}\right.$ a este număr real.

5 p a) Arătaţi că det $(A(a))=(a-1)(a-4)$, pentru orice număr real $a$.

$5 p$ b) Arătați că nu există niciun număr real a pentru care $(A(4)-A(1)) \cdot A(a)=A(a) \cdot(A(4)-A(1))$.

$5 \mathbf{p}$ c) Determinați numerele întregi $a$, pentru care sistemul de ecuații are soluția unică $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ cu $x_{0}$, $y_{0}$ şi $z_{0}$ numere întregi.

Answer 1

$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & 1 \\ 2 & a+1 & a \\ a & 6 & 4\end{array}\right)$

$\left\{\begin{array}{l}2 x+2 y+z=3 \\ 2 x+(a+1) y+a z=3 \\a x+6 y+4 z=a+3\end{array}\right$

a)

Calculam det(A(a)), adaugand primele doua linii ale determinantului

$det(A(a))=\left|\begin{array}{ccc}2 & 2 & 1 \\ 2 & a+1 & a \\ a & 6 & 4\end{array}\right|$

                     2       2      1

                     2      a+1    a

det(A(a))=(8a+8+12+2a²)-(a²+a+12a+16)=a²-5a+4=a²-a-4a+4=a(a-1)-4(a-1)=(a-1)(a-4)

b)

Calculam A(4)-A(1)

$A(4)-A(1)=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 4 \\ 4 & 6 & 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & 1 \\ 2 & 2& 1 \\ 1 & 6 & 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 3& 3 \\ 3 & 0 & 0\end{array}\right)$

Calculam (A(4)-A(1))A(a)

$(A(4)-A(1))A(a)=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 3& 3 \\ 3 & 0 & 0\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & 1 \\ 2 & a+1 & a \\ a & 6 & 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 6+3a & 3a+21& 3a+12 \\ 6 & 6 & 3\end{array}\right)$

Calculam A(a)(A(4)-A(1))

$A(a)(A(4)-A(1))=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & 1 \\ 2 & a+1 & a \\ a & 6 & 4\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 3& 3 \\ 3 & 0 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3 & 6 & 6 \\ 3a & 3a+3&3a+3 \\ 12 & 18 & 18\end{array}\right)$

Observam ca cele doua rezultate sunt diferite⇒ nu exista niciun numar real a pentru care cele doua matrice sunt egale

c)

Formam matricea sistemului, o notam cu M

$M=\left(\begin{array}{ccc}2&2&1\\2&a+1&a\\a&6&4\end{array}\right)$

Vom folosi metoda lui Cramer, calculam detM

$detM=\left|\begin{array}{ccc}2&2&1\\2&a+1&a\\a&6&4\end{array}\right|$

               2       2      1

               2      a+1    a

Observam ca matricea M este de fapt matricea A(a)

Deci detM=(a-1)(a-4)

Urmatorul pas este de a calcula x₀, y₀ si z₀

Formam Δx₀, Δy₀ si Δz₀, inlocuind coeficientii lor cu numerele de la egalitate

$\Delta x_0=\left|\begin{array}{ccc}3&2&1\\3&a+1&a\\a+3&6&4\end{array}\right|$

                3         2       1

                3       a+1      a

Δx₀=(12a+12+18+2a²+6a)-(a²+4a+3+18a+24)=a²-4a+3=(a-1)(a-3)

$x_0=\frac{\Delta x_0}{detM}=\frac{(a-1)(a-3)}{(a-1)(a-4)}=\frac{a-3}{a-4}$

$\Delta y_0=\left|\begin{array}{ccc}2&3&1\\2&3&a\\a&a+3&4\end{array}\right|$

            2       3       1

            2       3       a

Δy₀=(24+2a+6+3a²)-(3a+2a²+6a+24)=a²-7a+6=(a-1)(a-6)

$y_0=\frac{\Delta y_0}{detM}=\frac{(a-1)(a-6)}{(a-1)(a-4)}=\frac{a-6}{a-4}$

$\Delta z_0=\left|\begin{array}{ccc}2&2&3\\2&a+1&3\\a&6&a+3\end{array}\right|$

             2      2         3

             2    a+1        3

Δz₀=(2a²+8a+6+36+6a)-(3a²+3a+36+4a+12)=-a²+7a-6=-a²+a+6a-6=-a(a-1)+6(a-1)=(a-1)(6-a)

$z_0=\frac{\Delta z_0}{detM}=\frac{(a-1)(6-a)}{(a-1)(a-4)}=\frac{6-a}{a-4}$

Stim din cerinta ca x₀, y₀ si z₀ sunt numere intregi

De aici vom avea:

a-4 | a-3

a-4 | a-6

a-4 | 6-a

Le luam pe rand

a-4 | a-3

a-4 | a-4

Le scadem si obtinem

a-4 | 1

a-4={1,-1}

a={5, 3}

a-4 | a-6

a-4 | a-4

Le scadem si obtinem

a-4 | -2

a-4={1,-1,2,-2}

a={5,3, 6, 2}

a-4 | 6-a

a-4 | a-4

Le adunam si obtinem:

a-4 | 2

a-4={1,-1,2,-2}

a={5,3, 6, 2}

Solutia finala a={3,5} (am facut intersectia elementelor, adica ce au in comun)

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/713615

#BAC2022

#SPJ4