Question

Se consideră matricea :

$A=\begin{pmatrix}3 &0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\:\in\:M_{2}(\mathbb{R})$

Să se determine transpusa matricei :

$B=A + {A}^{2} + ... + {A}^{2016}$

Answer 1

Dupa cum ziceam, demonstram prin inductie ca A^n= (3ⁿ  0)

                                                                                           ( 0   1)

Voi nota relatia de demonstrat cu P(n). Parcurgem cele doua etape ale inductiei. Prima etapa este verificare ( nu e obligatorie)

P(1): A¹= ( 3   0)

              (0   1)  -adevarat.

Etapa 2:

Presupunem P(k) adevarat ∀ k ∈N*.Trebuie sa demonstram ca si P(k+1) este adevarat.

P(k): A^k= ( 3^k   0), k∈Z

                 ( 0       1)   --- asta-i relatia adevarata

P(k+1): A^(k+1)= (3 ^(k+1)   0)

                         (0             1)  ----relatia care trebuie demonstrata

Dar stim ca : A^(k+1)= A^k * A= calcule = (3 ^(k+1)   0 ) ,prin urmare P(k+1) este

                                                                 (  0           1)

adevarata. Rezulta concomitent ca P(k) este adevarat  ,deci P(n) -adevarat ∀n∈ N*.

In fine ,hai sa revenim la oile noastre.

B=A+A²+...+A²⁰¹⁶

B=( 3  0)    +    (3²    0)  +   .....    + (3²⁰¹⁶     0)

    (0    1)          (0      1)                   (0          1)

Adunand membru cu membru se obtine :

B= ( 3+3²+...+ 3²⁰¹⁶    0)

     ( 0                  2016 )

Hai sa calculam si suma din partea stanga-sus. (o voi nota cu S)

S=3+3²+...+3²⁰¹⁶

Suma este o progresie geometrica de ratie 3, primul termen fiind 3. Deci

S= 3 * (3²⁰¹⁶ - 1) /(3-1 )  (sper ca stii cum se calculeaza suma unei progresii geometrice)

S=(3²⁰¹⁷- 3) /2

Atunci transpusa matricei (suma elementelor de pe diagonala principala este)

Tr(B)= (3²°¹⁷-3 )/ 2 +2016  (nu se poate aduce la o forma mai simpla)

Cam asta ii tot :) .

Sper ca te-am ajutat!