Question

Se consideră matricea :
X ( a , b ) = a b
9b a
unde a și b sunt numere reale.
a) Arătați ca det ( X ( 3 , 1 ) ) = 0
b) Demonstrati că X ( a , b ) X ( c , d) = X ( ac + 9 bd , ad + bc ) pentru orice numere reale a , b , c și d.
c) Demonstrati perechile de numere întregi ( m , n ) pentru care det ( X ( m , n ) ) = 1.
REZOLVAREA SA FIEFACUTA PRINTR-O POZĂ NEAPARAT ​.
​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

a)  $\left|\begin{array}{ccc}3&1\\9&3\end{array}\right | = 3*3-1*9=9-9=0$

b) X(a,b) = $\left[\begin{array}{ccc}a&b&\\9b&a\end{array}\right]$

X(c,d) = $\left[\begin{array}{ccc}c&d&\\9d&c\end{array}\right]$

X(a,b)*X(c,d) = $\left[\begin{array}{ccc}a&b&\\9b&a\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}c&d&\\9d&c\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}ac+9bd&ad+bc&\\9bc+9ad&9bd+ac\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}ac+9bd&ad+bc&\\9(ad+bc)&ac+9bd\end{array}\right]=X(ac+9bd,ad+bc)$

c) |X(m,n)| = $\left|\begin{array}{ccc}m&n&\\9n&m\end{array}\right| = 1$      <=> m^{2}-9n^{2}=1 <=> (m-3n)(m+3n)=1 <=> m-3n=m+3n=1 sau m-3n=m+3n= -1

m=1+3n => 1+3n+3n=1 =>6n=0 => n=0 => m=1

sau m=3n-1 => 3n-1+3n=-1 => 6n=0 => n=0 => m= -1

Deci n=0 si m= ±1