Question

Se considera matricele $A \left[\begin{array}{ccc}3&2\\2&3\\\end{array}\right]$ si$B \left[\begin{array}{ccc}1&1\\1&a\\\end{array}\right]$ , unde a este nr real.
a) Determinati nr real a pentru care B · B = 2B
c) Aratati ca det (A · B - B · A) ≥ 0, pentru orice numar real real a

Answer 1

$B*B=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & a \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & a \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1+1 & 1+1\\ 1+1 & a+a \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 2\\ 2 & 2a \end{bmatrix}=2*\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & a \end{bmatrix}=2B$
b)$A*B=\begin{bmatrix} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & a \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3+2 & 3+2a\\ 2+3 & 2+3a \end{bmatrix}$
$B*A=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & a \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3+2 & 2+3\\ 3+2a & 2+3a \end{bmatrix}$
$A*B-B*A=A*B=\begin{bmatrix} 5 & 3+2a\\ 5 & 2+3a \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 5 & 5\\ 3+2a & 2+3a \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 2a-2\\ 2-2a & 0 \end{bmatrix}$

$det(A*B-B*A)=det(\begin{bmatrix} 0 & 2a-2\\ 2-2a & 0 \end{bmatrix})=0-(2a-2)(2-2a)=(2a-2)(2a-2)=(2a-2)^{2}$
orice numar la patrat este mai mare sau egal decat 0.