Question

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{rr}-2 & 2 \\ -3 & 3\end{array}\right), I_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ şi $M(x)=I_{2}+x A$, unde $x$ este număr real.

1. Arătați că det $(M(0))=1$.

2. Arătați că $M(1)-M(3)=M(3)-M(5)$.

3. Arătați că $A \cdot A=A$.

4. Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $x$ pentru care $\operatorname{det}\left(M\left(x^{2}\right)\right)\ \textless \ 5$.

5. Demonstraţi că $M(x) \cdot M(y)=M(x+y+x y)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

6. Determinați numerele întregi $m$ şi $n, m\ \textless \ n$, pentru care $M(m) \cdot M(n)=M(2)$.

Answer 1

1.

$M(0)=\left(\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right)\\\\det(M(0))=1-0=1$

2.

$M(1)=\left(\begin{array}{ccc}-1&2\\-3&4\\\end{array}\right)\\\\M(3)=\left(\begin{array}{ccc}-5&6\\-9&13\\\end{array}\right)\\\\M(5)=\left(\begin{array}{ccc}-9&10\\-15&16\\\end{array}\right)$

Se observa ca M(1)-M(3)=M(3)-M(5)

3.

$A\cdot A=\left(\begin{array}{rr}-2 & 2 \\ -3 & 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{rr}-2 & 2 \\ -3 & 3\end{array}\right)\\\\A\cdot A=\left(\begin{array}{rr}-2 & 2 \\ -3 & 3\end{array}\right)$

4.

det(M(x²))<5

$M(x^2)=I_2+x^2A\\\\M(x^2)=\left(\begin{array}{rr}-2x^2+1 & 2x^2 \\ -3x^2 & 3x^2+1\end{array}\right)$

det(M(x²))=-6x⁴-2x²+3x²+1+6x⁴=x²+1

x²+1<5

x²<4

x∈(-2,2)

5.

$M(x)\cdot M(y)=I_2\cdot I_2+I_2\cdot yA+xA\cdot I_2+xyA^2\\\\M(x)\cdot M(y)=I_2+yA+xA+xyA=I_2+(x+y+xy)A=M(x+y+xy)$

6.

M(m)×M(n)=M(m+n+mn)

m+n+mn=2

m+n+mn-2=0

m+mn+n+1-3=0

m(n+1)+(n+1)-3=0

(m+1)(n+1)=3

m+1=1

m=0

n+1=3

n=2

m+1=-3

m=-4

n+1=-1

n=-2

Un alt exercitiu cu matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/1857848

#SPJ4