Question

Se consideră multimea A={1/3; 1/15; 1/35;...1/(2n-1)(2n+1)} cu n natural nenul. Demonstrati ca, oricare ar fi B o submultime nevida a lui A, suma elementelor multimii B nu poate fi numar natural.

Answer 1

Răspuns

asa este!!..::))

Explicație pas cu pas:

orice element este nenul si pozitiv, deci orice suma ≠0∈N

suma minima  1/(2n-1) (2n+1)=1/(4n²-1)<1/(4-1)=1/3

suma maxim

1/3+1/15+...+1/(2n-1)(2n+1)=

1/1*3+1/385+1/5*7+...1/(2n-1) (2n+1)=

(1/2)*(1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+...+1/(2n-1) -1/(2n-1)=

=(1/2)* (1-1/(2n+1))=n/2n+1<n/2n=1/2<1

deci suma ∈[1/3;1/2)

[1/3;1/2)∩N*=∅

Answer 2

$\it \dfrac{1}{2n-1}- \dfrac{1}{2n+1}= \dfrac{2n+1-2n+1}{(2n+1)(2n-1)} = \dfrac{2}{(2n+1)(2n-1)} \Rightarrow \\ \\ \\\Rightarrow\dfrac{1}{(2n+1)(2n-1)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2n-1}- \dfrac{1}{2n+1}\right)$

Folosind formula, suma elementelor din mulțimea A se poate scrie:

$\it \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\ ...\ +\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1}\right)=\\ \\ \\ =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2n+1}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2n+1-1}{2n+1}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2n}{2n+1}=\dfrac{n}{2n+1}<1,\ \forall n\in\mathbb{N}$

Prin urmare, oricare ar fi B o submulțime nevidă a lui A, suma

elementelor mulțimii B va fi cuprinsă în intervalul (0,  1), adică

nu poate fi un număr natural.