Question

Se consideră mulțimea A = {1, 3, 5, ..., 101}.
a Aflați numărul perechilor (a, b), a, b e A, a<b, astfel încât a + b = 100
b Dacă suma a 46 de elemente ale multimii A este 2010, atunci arătaţi că cel puţin două ele-
mente sunt egale.​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

A = {1, 3, 5, ..., 101}. Elementele mulțimii A formează o progresie aritmetică cu primul termen, a1=1 și rația r=2.

a) Să aflăm numărul de elemente ale mulțimii A, fie n=card A.

a1+(n-1)·r=an, ⇒ 1+(n-1)·2=101, ⇒ (n-1)·2=101-1, ⇒ (n-1)·2=100, ⇒ n-1=50, ⇒n=51. Deci, ultimul element este al 51=lea element, termen al progresiei.

Se observă că a1+a50=1+99=100=a2+a49=3+97=...=a25+a26. Deci, există 25 de perechi (a, b), a,b∈A, a<b, astfel încât a + b = 100.

b) Calculăm suma a 46 elemente distincte ale mulțimii A, fie primele 46.

S46=(2·a1+45·r)·46/2=(2·1+45·2)·46/2=92·46/2=46·46=46²=2116.

2116>2010, deci in suma de 46 elemente ale mulțimii A cu suma 2010 au fost luate repetat  cel puţin două elemente.