Question

Se considera mulțimea M={ lg k | k= (BAR pe poza )1,1000]

a) Determinați M∩ Z.
b) Arătați ca | M∩[1;2] |≥90
c) Demonstrați ca ∑(indice)x∈m X > 1800
DAU COROANA CINE MA POATE AJUTA VA ROG FRUMOS
VA ROG SA VA UITAȚI PE POZA PENTRU CA NU SE ÎNȚELEGE BINE

Answer 1

bar 1,1000 sunt  numerele  cuprinse  intre  1  si  1000 adica {1,2,...,1000}
M={lg1,lg,lg3...lg1000}
M∩Z=numerele  intregi  din multimea  M adica
lg1=0,lg10=1,lg100=2,lg1000=3
M∩Z={0,1,2,3}
b)  se  cere  cardinalul  multimii  M ∩[1,2]
lg10=1
lg11>1
lg12>1
...........
lg100=2
M∩[1,2]={lg10,lg11,lg12...,lg100}.Aceasta  multime  are 100-10+1=91elemente
91≥90
c)∑x∈M=lg1+lg2+lg3+...+lg1000=lg1*2*..1000=
lg1*2*3*...*1000>1800
Trebuie  sa  rati  ca  acest  numar  e  mai  mare  decat  10^1800

Answer 2

$\displaystyle a)~Cel~mai~mic~element~din~M~este~\lg1=0,~iar~cel~mai~mare \\ \\ este~\lg1000=3.~Astfel,~elemente~comune~pot~fi~0,1,2,3. \\ \\ Cum~\lg1=0~;~\lg10=1~;~\lg100=2~;~\lg1000=3,~rezulta~ca \\ \\ M \cap \mathbb{Z}= \{0,1,2,3\}. \\ \\ b)~M \cap [1,2]= \{ \lg k~|~1 \le \lg k \le 2 \}. \\ \\ 1 \le \lg k \le 2 \Leftrightarrow 10 \le k \le 100 \Rightarrow k \in \{10,11,...100\}. \\ \\ |M|=100-10+1=91 \ge 90. \\ \\ c)~\lg 1+ \lg 2+ ... + \lg 1000= \lg (1 \cdot 2 \cdot... \cdot 1000)= \lg 1000!$

$\displaystyle Trebuie~sa~demonstram~ca~\lg 1000! \ \textgreater \ 1800 \Leftrightarrow 1000!\ \textgreater \ 10^{1800}. \\ \\ Dar~1000!\ \textgreater \ 100 \cdot 101 \cdot 102 \cdot... \cdot 999\ \textgreater \ 100 \cdot 100 \cdot 100 \cdot ... \cdot 100= \\ \\ 100^{900}=10^{1800},~q.e.d.$