Question

Se considera numarul a=1,23(45).
a)Scrieti numarul a sub forma de fractie ordinara ;
b)Aflati a 2013-a zecimala a lui a;
c)Calculati suma primelor 2013 zecimale ale numarului a

Answer 1

Se consideră numărul a = 1,23(45) .

a) Scrieți numărul a sub formă de fracție ordinară;

Algoritmul de transformare se bazează pe scrierea fracției ca sumă între parte fixă și partea periodică.

1,23(45) = 1,23 + 0,00(45) = 1,23 + 0,(45) / 100 =

$\displaystyle =\frac{123}{100} +\frac{45}{99} \cdot \frac{1}{100} =\frac{123 \cdot 99+45}{9900} =\frac{12222^{(18} }{9900} =\frac{679}{550}$

Această fracție este ireductibilă.

Așadar, numărul a scris sub formă de fracție ordinară este:

a = 679/550

• Mai multe detalii despre transformarea fracțiilor zecimale periodice în fracții ordinare găsești aici:
  →  https://brainly.ro/tema/33685

b) Aflați a 2013-a zecimală a lui a;

Fracția fiind periodică, zecimalele scrise în paranteză se repetă la infinit. Numărul a  se poate scrie și:

1,23454545....

Observăm că, exceptând primele două zecimale (2 și 3):

• zecimala de pe poziția impară (a treia,a cincea, a șaptea etc.) este 4
• zecimala de pe poziția pară (a patra, a șasea, a opta etc.) este 5.

cum 2013 este număr impar ⇒

⇒ zecimala a 2013-a este 4

c) Calculați suma primelor 2013 zecimale ale numărului a.

a 2013-a zecimală este 4  ⇒ trebuie să calculăm suma:

S = 2 + 3 + (4 + 5) + (4 + 5) + ... + (4 + 5) + 4, care are 2013 termeni

Determinăm de câte ori se repetă secvența „(4 + 5)”.

În afara acestor secvențe, mai avem 3 termeni: primii doi „2 + 3” și ultimul „+ 4”.

Ne rămân așadar 2013 - 3 = 2010 termeni

Din aceștia, jumătate sunt „+ 4”, jumătate sunt „+ 5”.

2010 : 2 = 1005

Calculăm suma:

S = 2 + 3 + (1005 · 4 + 1005 · 5) + 4 = 9 + 1005 · 9 = 9 + 9045 = 9054

suma primelor 2013 zecimale = 9054