Question

Se considera numarul A=3^1+3^2+3^3+........+3^2011
a)Aratati ca A este un numar impar.
b) Calculati ultima cifra a numarului A+1
c) Calculati restul impartirii numarului A+1 la 5
ESTE URGENT

VA ROG!

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

a) A=3¹+3²+3³+...+3²⁰¹¹=(3¹+3²)+3²(3¹+3²)+...+3²⁰⁰⁸(3¹+3²)+3²⁰¹¹=(3¹+3²)·(1+3²+...+3²⁰⁰⁸)+3²⁰¹¹.

Deoarece (3¹+3²)=3+9=12 este par, atunci termenul (3¹+3²)·(1+3²+...+3²⁰⁰⁸) va fi numar par. Dar 3²⁰¹¹ este numar impar.

Atunci suma:   par + impar = impar, deci A este numar natural impar.

b) A+1=3¹+3²+3³+...+3²⁰¹¹ +1=

Se cunoaste ca ultima cifra a puterilor lui 3 se repeta din 4 in 4. Vom grupa cate 4 termenii. 2011:4=502 +rest 3, deci obtinem 502 grupe cate 4 si ultimul grup 3 termeni.

Deaceea U(3¹+3²+3³+3⁴)=U(3⁵+3⁶+3⁷+3⁸)=...=U(3²⁰⁰⁵+3²⁰⁰⁶+3²⁰⁰⁷+3²⁰⁰⁸)

U(3¹+3²+3³+3⁴)=U(3+9+7+1)=U(20)=0. Deci Ultima cifra a 502 grupuri complete va fi 0.

Aflam Ultima cifra a ultimului grup, incomplet: U(3²⁰⁰⁹+3²⁰¹⁰+3²⁰¹¹)=U(3¹+3²+3³)=U(3+9+7)=U(19)=9

Deci U(A+1)=U(0+9+1)=U(10)=0.

c) deoarece U(A+1)=0, rezulta ca numarul A+1 se divide cu 5 si deci restul impartirii numarului A+1 la 5 este 0.