Question

Se considera numarul A=3¹+3²+3³+..3²⁰¹¹
a)Arătați ca A este numar impar
b)Calculati restul împărțiri numarului A+1 la 5​

Answer 1

Răspuns:

a) A este impar

b) 0

Explicație pas cu pas:

A=3¹+3²+3³+...+3²⁰¹¹ /*3

3A=3²+3³+3⁴+...+3²⁰¹²

-------------------------------- Din a doua relatie o scadem pe prima.

3A-A=3²-3¹+3³-3²+3⁴-3³+...+3²⁰¹²-3²⁰¹¹

Observam ca termenii asemenea, dar cu semn schimbat, se reduc.

=> 2A=3²⁰¹²-3 => A=3²⁰¹²-3/2

Ai sa vezi ca ultimele 2 cifre a unei puteri ale lui 3 se repeta dupa secvente de 3; 9; 7 si 1. Adica 3¹=3; 3²=9; 3³=27; 3⁴=81; 3⁵=243 si asa mai departe. Se repeta din 4 in 4. Pentru a afla ultimele 2 cifre al numarului nostru, este indeajuns sa aflam restul impartirii lui 2012 la 4 si sa il ridicam pe 3 la rest.

2012:4=503 rest 0 In cazul in care restul este zero, inseamna ca ultimele 2 cifre a lui 3 este echivalenta cu ultima din serie, adica 81.

=> u2(3²⁰¹²)=u2(3⁴)=u2(81)=81

u2(3²⁰¹²-3)=u2(81-3)=78

u2(78/2)=u(39)=9 => A este impar

b) u(A+1)=u[u(A)+u(1)]=u(9+1)=u(10)=0

Restul unui numar impartit la 5 se poate calcula dupa ultima cifra

=> restul lui A+1 la 5 este restul ultimei cifre ale lui A+1 impartita la 5, adica 0.

Answer 2

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

$a)A=3+3^2+3^3+\ldots+3^{2011}\\A= 3 + 3^2(1+3)+3^4(1+3)+\ldots + 3^{2010}(1+3)\\A=3+3^2\cdot 4 + 3^4\cdot 4 + \ldots + 3^{2010}\cdot 4\\A= \underbrace{3} + \underbrace{4\cdot ( 3^2+3^4+\ldots + 3^{2010})}\\~~~~~~impar~~~~~~~~~~~~~~~par\\\texttt{Deci A este impar}.$

$b) A + 1 = 1+3+3^2+\ldots+3^{2011}\\\texttt{Sunt 2012 termeni, deci ii putem grupa cate 4.}\\A + 1 = (1+3+3^2+3^3)+3^4(1+3+3^2+3^3) + \ldots+3^{2008}(1+3+3^2+3^3)\\A+1 = 40+3^4\cdot 40 + \ldots + 3^{2008}\cdot 40\\A +1 = 40(1+3^4+3^8+\ldots + 3^{2008})\\A+ 1 = 5\cdot 8\cdot (1+3^4+3^8+\ldots + 3^{2008})\\\texttt{Restul impartirii lui A+1 la 5 este 0}.$