Se considera numarul n=100001100001110000...10000111...11 De 100 de ori(ultima data la 1) .Care este cifra care se afla pe pozitia 1000?
Răspunsuri la întrebare
Salut,
După cum arată numărul “n”, este evident că cifra de pe poziția 1000 este 0, sau 1.
Modul de formare a numărului “n” este așa: o cifră “1” urmată de 4 zerouri, apoi 2 cifre „1” urmate tot de 4 zerouri, apoi 3 cifre „1” urmate tot de 4 zerouri și așa mai departe, 99 de cifre „1” urmate de 4 zerouri și la final 100 de cifre „1”.
Scriem numărul “n” într-un mod puțin modificat față de cel din enunț (spațiile introduse mai jos nu modifică numărul de cifre ale numărului, doar face mai ușoară citirea lui):
n = 10000 110000 1110000...10000 111...11
Cu alte cuvinte, numărul “n” este format prin alipirea a 100 de grupuri de cifre, fiecare grup de cifre (în afară de ultimul) are următoarea structură:
1...10000, unde 1 apare de k ori, k ia valori de la 1, la 2, ..., până la 99 inclusiv. Ultimul grup de cifre este format doar din 1...1, unde “1” apare de 100 de ori, conform enunțului.
Numărul de cifre ale lui “n” este deci:
S = 5 + 6 + 7 + … + (99+4) + 100.
Lui 5 îi corespunde grupul nr. 1 de cifre (10000), lui 6 îi corespunde grupul nr. 2 de cifre (110000), lui 7 îi corespunde grupul nr. 3 de cifre (1110000) și așa mai departe.
În general, grupului nr. “p”. îi corespund cifrele 111…10000, unde 1 apare de “p” ori, numărul total de cifre este p+4 (pentru că 0 apare exact de 4 ori, întotdeauna). (1).
Avem deci de aflat cine este x în relația:
5 + 6 + 7 + ... + x > 1000, unde x este număr natural, de fapt cea mai mică valoare a lui x pentru care are loc inegalitatea.
Știm că 1 + 2 + 3 + ... + x = x(x+1)/2.
Dacă scădem 1+2+3+4, adică pe 10, obținem:
5 + 6 + 7 + ... + x = x(x+1)/2 – 10 = [x(x+1) - 20]/2 > 1000, sau x(x+1) – 20 > 2000, sau x(x+1) > 2020.
Adică avem de aflat ce număr natural înmulțit cu consecutivul lui dă un număr mai mare decât 2020.
La gimnaziu nu ați studiat încă inecuațiile de gradul al doilea, așa că rezolvăm prin încercări:
40 * 41 = 1640 < 2020
42 * 43 = 1806 < 2020
44 * 45 = 1980 < 2020
45 * 46 = 2070 > 2020, deci cea mai mică valoare a lui x este 45.
1 + 2 + 3 + ... + 45 = 45 * 46 / 2 = 45 * 23 = 1035 => 5 + 6 + 7 + … + 45 = 1035 – (1 + 2 + 3 + 4) = 1025.
5 + 6 + 7 + … + 45 = 1025
Acel 45 de la final (vezi afirmația (1) de mai sus), se referă la 111..10000, unde cifra “1” apare de 45 – 4 = 41 de ori.
Cum 25 < 41, înseamnă că cifra cu numărul 1000 se află în grupul celor 41 de apariții ale lui “1”, adică cifra de pe poziția 1000 este chiar 1.
Green eyes.