Question

se considera numarul n= 12112111211112.
...112,având suma cifrelor88.Aflati numarul cifrelor numarului n si scrieti cel mai minim ar natural care sa aibă aceleasi cifre si acelasi număr de cifre ca si numarul n

Answer 1

Dacă studiem numărul și sfârșitul lui observăm că este compus doar din grupuri de tipul 1(de n ori)și în final 2. Ultimul grup, al n-lea este cuprins complet în număr (fiindcă se termină în 2).

În acest context încercăm să generăm o formulă generală a sumei cifrelor:
1+2 + 2+2 + 3+2 + 4+2 + ... + n+2 = 
Acum să le regrupăm:
(1+2+...+n) + (2+...+2)[de n ori] = 1+2+...+n + 2n
Aplicăm formula sumei lui Gauss (parcă, sau idk cum se numea)
= (n+1)*n / 2 + 2n
Și știm că suma cifrelor este 88, deci:
(n+1)*n / 2 + 2n = 88
(n+1)*n + 4n = 88*2 = 176
=> n²+n+4n = 176
=> n²+5n = 176
=> n²+5n - 176 = 0
=> Δ = 25 + 4*176 = 704 + 25 = 729 = 27²
n₁ = (-5+27)/2 = 22/2 = 11
n₂ = (-5-27)/2 < 0, n-ul nu poate fi negativ, pentru că avem un număr pozitiv de grupuri :)) nu prea putem avea un număr cu un nr. negativ de cifre.
deci rămâne n = 11
Asta înseamnă că avem așa:
12112112....2111111111112
Acum, dacă știm că sunt 11 grupuri să aflăm numărul de cifre
nr cifre = 1+1 + 2+1 + 3+1 + ... + n+1
= 2+3+4+...+(n+1) = 2+3+4+...+12 = 14*11/2 = 154/2 = 77
Deci 77 de cifre. :D

Iar ca să obținem cel mai mic număr natural cu aceleași cifre trebuie doar să le ordonăm crescător, dar întâi să vedem câte avem de fiecare.
77 sunt în total, fiecare grup are o cifră de 2, deci la 11 grupuri avem 11 cifre de 2, iar restul sunt de 1, adică 66.

11111....(de 66 de ori)....111122....(de 11 ori)....2