Question

Se considera numarul natural 1•2•3•...•274•275.
Sa se determine ca numarul de zerouri in care se termina n si sa se justifice faptul ca n+27400 nu este patrat perfect

P.S. am aflat doar ca are 36 de zerouri
ex nr 10

Answer 1

n=1·2·3·...·274·275
Indicatie:numarul de zerouri se obtin din produsul lui 5 cu un numar par {2;4;6;8} sau din ultima cifra a unui multiplu de 10.
Asadar ,aplicand formula lui Legendre pentru numarul de zerouri obtinem
e(n!)=[275/5]+[275/5²]+[275/5³]=55+11+2=68(de zerori).
In concluzie numarul n se termina in 68 de zerouri.
Numarul n=1·2·3·...·274·275 poate fi scris sub forma
n=.....000000 (cu bara deasupra ,avand la final 68 de zerouri) sau
n=10⁶⁸·y unde y∈N .
n+27400=10⁶⁸·y+27400=10⁶⁸·y+10²·274
n+27400=10²(10⁶⁶·y+274)
Asadar ,presupunem prin absurd ca numarul n+27400 este patrat perfect ⇒10²(10⁶⁶·y+274) patrat perfect ⇔10⁶⁶·y+274 patrat perfect .
Daca y=z² ,z∈N ⇒10⁶⁶ ·y=10⁶⁶·z² este patrat perfect dar 274=2·137(produs de doua numere prime) ⇒10⁶⁶·y+274 nu este patrat perfect pentru y=z².
Daca y≠z² ,z∈N ⇒10⁶⁶·y nu este patrat perfect deci nici 10⁶⁶·y+274 nu este patrat perfect.
In concluzie n+27400 nu este patrat perfect.