Question

Se considera numarul natural  natural a=1x2x3x4x....xn+48.                                                      a) Pentru n=20, aratati ca a nu este patrat perfect.                                                                  b) Determinati n apartine N, pentru care a este patrat perfect.

Answer 1

a) Ultima cifra a unui patrat perfect poate fi: {0, 1, 4, 5, 6, 9}

Pentru n=20, produsul 1x2x3x4x5x6x...x20 este divizibil cu 10, deci are ultima cifra 0 si cand adunam 48, numarul a=1x2x3x4x5x6x...x20+48 va avea ultima cifra 8, care nu se afla printre valorile enumerate mai sus, deci a nu poate fi patrat perfect.

b) Observam ca n≥1 si pentru n≥5 avem produsul 1x2x3x4x5x...xn este divizibil cu 10, deci ultima cifra a lui a va fi 8 si dupa cum s-a vazut la punctul a), a nu poate fi patrat perfect. Analizam, asadar, valorile naturale ale lui n≤4:

Daca n=1, atunci:
a=1+48=49=$7^{2}$, deci a este patrat perfect.

Daca n=2, atunci:
a=2+48=50, deci a nu este patrat perfect.

Daca n=3, atunci:
a=6+48=54, deci a nu este patrat perfect.

Daca n=4, atunci:
a=24+48=72, deci a nu este patrat perfect.

Deci doar pentru n=1 obtinem a=patrat perfect.