Question

Se consideră numărul real s. Să se demonstreze că s € (1;2).
$s = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{ {2}^{2} } + \frac{1}{ {2}^{3} } + ... + \frac{1}{ {2}^{2009} }$
Vă rog frumos să-mi explicați.
​

Answer 1

Răspuns:

s=1+1/2+1/2²+1/2³+...+1/2²⁰⁰⁹

Ai o progresie geometrica cu ratia q=1/2 .Adica fiecare termen se obtine inmultind predecesorul cu 1/2

Suma unei progresii geometrice se calculeaza cu formula

S=a1*(qⁿ-1)/(q-1) unde a1=1, q=1/2, n=1+2009=2010 n  =nr  de termeni ai progresiei

s=1*[(1/2)²⁰¹⁰-1]/(1/2-1)=[(1/2)²⁰¹⁰-1]/(-1/2)=

2[1-1/2²⁰¹⁰]

1-1/2²⁰¹⁰∈(1/2,1)

2(1-1/2²⁰¹⁰)∈2(1/2,1)∈(1,2)

Explicație pas cu pas: