Question

Se consideră numărul S=1+2+2^2+2^3+... +2^{119}S=1+2+22+23+...+2119. Cel mai mic număr natural compus, de trei cifre, care este divizor al lui SS este egal cu:
Răspunsurile
111

105

123

103

101

Answer 1

S=1+2+2²+2³+...+2¹¹⁹     |×2

2S=2+2²+2³+2⁴+...+2¹¹⁹+2²²⁰

• Observam ca in dreapta il avem pe S, mai putin 1 si pe 2²²⁰,

Asadar, ca sa il construim pe S ne mai trebuie un 1. Facem un artificiu de calcul: adaugam si scadem un 1, astfel vom obtine:

2S=S-1+2²²⁰

2S-S=2²²⁰-1

S=2²²⁰-1

Aflam ultima cifra a lui 2²²⁰

2¹=2

2²=4

2³=8

2⁴=16

2⁵=32

• Observam ca se repeta din 4 in 4.

220:4=55 rest 0

• Deci ultima cifra a lui 2²²⁰ este 6

• Atunci ultima cifra a lui S va fi u(S)=6-1=5

Deci divizorul va fi 105

Raspuns: 105