Se consideră numerele n şi a, cu n număr natural, n > 3 şi
a= (1*2*3*...*n) / 2019
a) Aflati cea mai mică valoare a lui n pentru care a este număr natural.
b) Pentru n determinat la punctul anterior determinaţi în câte zerouri se termină a.
c) Dacă n = 674, aflați cel mai mare număr natural m pentru care a se divide cu 3^m.
va rog frumos ajutor in rezolvarea acestei probleme, multumesc! ❤
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
n=673
166 zerouri
m=331
Explicație pas cu pas:
a) descompunerea in factori primi a lui 2019=3x673, deci n(minim) e 673.
b) nr de zerouri (nu e influentat de impartirea la 2019, 10 si 1019 fiind coprime) este dat de nr de multipli ai lui 2 si nr de multipli ai lui 5 din nr "a", care de fapt e egal cu nr de zerouri finale ale lui 673! (factorial)
Multiplii de 5 sunt mai putini/rari decat cei ai lui 2, deci daca am avea spre ex 340 multipli de 2 si 168 multipli de 5, am avea nr de zerouri determinate de cei 168 de M(5). Atentie! exista multipli care se divid cu puteri superioare ale lui 5! deci nu vom avea in exemplul nostru 168 de zerouri, ci posibil mai multe.
n=673; cati multipli de 5 sunt? 5,10,15,...,670 - in total 134 de M(5). Dintre acestia, remarcam:
• 25,50,75,100,...,650 - adica 26 de M(5²)
• 125,250,...,625 - 5 de M(5³)
• 625 - 1 M(5⁴)
Deci, ca sa exprimam altfel, puterea lui 5 din exprimarea lui a este 134+26+5+1=166.
Ziceam anterior (usor de demonstrat similar) ca puterea lui 2 din dezvoltarea lui a este mai mare, deci nr de zerouri finale ale lui a este 166.
c) similar, mai pe scurt: (pt n=674)
M(3): 3,6,9,12,...,672 - 224 nr
M(3²): 9,18,27,...,666 - 74 nr
M(3³): 27,54,81,...,648 - 24 nr
M(3⁴): 81,162,...,648 - 8 nr
M(3⁵)=243,486 - 2 nr
Total: 224+74+24+8+2=332
Dar a=674!/ (3 ×673), deci tb sa scadem 1.
m=331