Question

se considera numerele naturale nenule a1,a2,....a2009,
A.aflati ca (a1+a2)(a2+a3),,,,,(a2008+a2009)(a2009+a1) este nr.par.​

Answer 1

Răspuns:

produsul acestor numere este obligatoriu par

Explicație pas cu pas:

Avem 2009 factori.

Dacă unul singur dintre ei este par, atunci produsul lor va fi par, pentru că se va putea scrie ca fiind 2×m, unde m reprezintă produsul celorlalți 2008 termeni  (1)

Singura variantă ca acest produs de 2009 factori să fie impar este ca fiecare factor să fie impar.  (2)

Asta înseamnă că în fiecare paranteză de felul$(a_{n} + a_{n+1} )$ trebuie să avem un număr par și unul impar. Orice altă variantă ne duce la un număr par (3)

Pornim analiza de la a₁. Avem două variante: a₁ e par, sau a₁ e impar.

varianta 1: a₁ este par.

Pentru a satisface relația (3), a₂ trebuie să fie impar. Mai departe, a₃=par, a₄ = impar. Urmăm aceeași logică și ajungem la a₂₀₀₉ = par.

Dar și a₁ este par, asta înseamnă că ultimul factor (a₂₀₀₉+a₁) este par. Adică întregul produs al celor 2009 numere este par.

varianta 2: a₁ este impar.

Pentru a satisface relația (3), a₂ trebuie să fie par. Mai departe, a₃=impar, a₄ = par. Urmăm aceeași logică și ajungem la a₂₀₀₉ = impar.

Dar și a₁ este impar, asta înseamnă că ultimul factor (a₂₀₀₉+a₁) este par. Adică întregul produs al celor 2009 numere este par.

Concluzie: produsul este par întotdeauna.