Question

se considera o functie neconstanta ptr care: f(x+r pi)=f(x) ptr orice r nr rational.Sa se determine multimea punctelor de continuitate ale functiei

Answer 1

presupunem ca exista un punct a, in care f este continua.
deoarece f nu e constanta ⇒ exista b a.i. f(a)≠f(b)
luam un sir de numere rationale qn pentru care lim cand n->∞ din qn=(a-b)/π
(de exemplu qn=(na-nb+3)/nπ )
deci lim cand n→∞ (b+qnπ)= b+a-b=a
dar f cont in a deci f(a)= f(lim cand n→∞ din (b+qnπ))=lim cand n→∞ din f(b+qnπ)=lim cand n→∞ din f(b)=f(b)
contradictie cu alegerea lui b≠a
⇒ nu exista a in care f sa fie cont
⇒ f nu e continua in nici un punct
⇒ multime punctelor de continuitate ale lui f este multimea vida.

O zi buna!