Question

Se consideră paralelogramul ABCD şi punctele E şi F astfel încât (vector)AE = (vector)EB, (vector)DF = 2(vector)FE . Să se demonstreze că punctele A, F şi C sunt coliniare.
Multumesc anticipat!

Answer 1

Vectorul AC poate fi scris ca
$\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}$
sau
$\vec{AC}=\vec{AD}+\vec{DC}$
Adunam cele 2 relatii
$2\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD}+\vec{BC}+\vec{DC}$
Stim din proprietatile paralelogramului ca laturile opuse BC si AD sunt paralele si egale ca modul,  adica sunt egale si vectorial
$\vec{BC}=\vec{AD}$
la fel si pentru AB si DC
$\vec{DC}=\vec{AB}$
si atunci va rezulta in ecuatia de mai sus
$2\vec{AC}=2\vec{AB}+\vec{AD}\Rightarrow \vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD}$
Relatia aceasta se numeste regula de compunere a vectorilor in paralelogram:diagonala vectoriala este egala cu suma vectoriala a laturilor adiacente
Acum ne apucam sa reprezentam pe unul din vectorii AF sau FC. Daca unul dintre ei este proportional cu AC, inseamna ca sunt coliniari. Hai sa reprezentam pe AF in doua moduri
$\vec{AF}=\vec{AD}+\vec{DF}$

si
$\vec{AF}=\vec{AE}+\vec{EF}$
dar noi stim ca
$\vec{AB}=\vec{AE}+\vec{EB}=2\vec{AE}$
Asa ca inmultim a doua relatie cu 2 sa ne iasa vectorul AB
$2\vec{AF}=2\vec{AE}+2\vec{EF}=\vec{AB}+2\vec{EF}$
Adunam acum relatia aceasta cu prima relatie de definire a lui AF
$3\vec{AF}=\vec{AD}+\vec{AB}+\vec{DF}+2\vec{EF}=\vec{AD}+\vec{AB}+2\vec{FE}-2\vec{FE}=\vec{AD}+\vec{AB}=\vec{AC}$
asta inseamna ca segmentele AF si AC sunt coliniare sau paralele. Dar cum deja au un punct in comun, si anume A, inseamna ca AF si AC sunt segmente coliniare, adica punctele A F si C sunt coliniare.