Question

Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD cu înălțimea [VO] de 2 radical 6 dm și secțiunea diagonală triunghi dreptunghic.Fie P piciorul perpendicularei din O pe (VAB).Se secționează piramida cu planul alfa care conține punctul P și este paralel cu (ABC).Să se determine:a)aria secțiunii;b)înălțimea triunchiului de piramidă obținut.

Answer 1

planul diagonal (VAC) ⇒ tr. VAC este dreptunghic in V si isoscel, VA=VC
VO este mediana ⇒ VO=AC/2 ⇒ AC=2VO
AC=4√6 dm
AC=AD√2
latura bazei AD=4√3 dm
AC=VA√2
muchiile laterale VA=VB=VC=VD=AD=4√3 dm ⇒ fetele laterale sunt triunghiuri echilaterale , prin urmare avem in discutie o piramida cu toate muchiile congruente.
apotema piramidei, VE=VA√3/2 ⇒ VE=6 dm (vezi relatia inaltime - latura in tr. echi.)
apotema bazei mari, OE=AD/2=2√3 dm
in tr. dreptunghic VOE cu teorema catetei calculam PE
OE^2=PE x VE
PE=12/6
PE=2 dm
calculam raportul de proportionalitate 
VP/VE=r ⇒ (VE-PE)/VE=r
r=2/3
aria bazei mari A=AD^2=48 dm2
aria bazei mici a:
a/A=r^2 ⇒ a=Ar^2=48 x 4/9=64/3 dm2
PF⊥VO ⇒ PF║OE ⇒ VF/VO=r ⇒ (VO-OF)/VO=r
inaltimea trunchiului de piramida OF=2√6/3 dm

am sarit detalii de calcul pentru ca altfel ar fi trebuit sa scriu pe 2 pagini
am folsit proprietatile triunghiului dreptunghic isoscel, teorema catetei, si teorema fundamentala a asemanarii.
am folosit faptul ca raportul ariilor este egal cu patratul raportului de asemanare, asta poate fi usor de demonstrat dar nu e cazul. se foloseste ca atare. 

aria bazei mici poate fi calculata plecand de la raportul de asemanare 
PF/OE=2/3, PF=4√3/3, MR=2PF=8√3/3, a=MR^2=64/3 dm2, PF este apotema bazei mici (sectiunea rezultata)