Question

Se considera polinomul f=$x^{2} -2 x^{2} -x+2,$ care are radacinile x1 x2,x3 apartine R.
a) Sa se determine catul si restul impartirii polinomului f la [tex] x^{2} -1
[/tex]
b) Sa se descompuna in produs de factori ireductibili polinomul f
c) Sa se demonstreze ca [tex] x_{1 } ^3 + x_{ 2 } ^3+ x_{ 3}^3=8
[/tex]

Answer 1

a)(x³-2x²-x+2)÷(x²-1)=x-2,deci catul este(x-2) restul este 0
b)f=x³-2x²-x+2=(x²-1)(x-2)=(x-1)(x+1)(x-2)
c)deoarece x₁,x₂,x₃ sunt solutiile polinomului,inseamna ca verifica ecuatia data;vom avea:
x₁³-2x₁²-x₁+2=0
x₂³-2x₂²-x₂+2=0
x₃³-2x₃²-x₃+2=0
prin adunare membru cu membru obtinem:
x₁³+x₂³+x₃³-2(x₁²+x₂²+x₃²)-(x₁+x₂+x₃)+6=0
conform relatiilor lui Viete avem:
x₁+x₂+x₃=-b/a=-(-2)/1=2
x₁²+x₂²+x₃²+(x₁+x₂+x₃)²-2(x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃)=2²-2(-1)=4+2=6
x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃=c/a=-1
vom avea:x₁³+x₂³+x₃³-2·6-2+6=0⇒₁³+x₂³+x₃³=14-6=8