Question

se considera polinomul f=X^3-3X^2+3X-a apartine R[X].
a) determinati a apartine R stiind ca f divide x-1/2
b)demonstrati ca (x1-1)^2+(x2-1)^2+(x3-1)^2=0, oricare ar fi a apartine R
c)Determinati a apartine R stiind ca f are toate radacinile reale. urgeent​

Answer 1

Răspuns:

c) la cerere

a=1

Explicație pas cu pas:

a) Bezout

b)Viete

c),  in detaliu, la cerere

f'(x) =3x²-6x+3=3(x²-2x+1)=3(x-1)²≥0, ∀x∈R⇒f(x) crescatoare pe R (da ,are un punct unde f'(x) se anulează, dar pt ca nu schimba semnul in vecinatate, acesta NU este un punct de extrem; cum f'(x) are o radcina dubla, aceast este si rad a lui f"(x) deci acel pct. e pct. de inflexiune)

⇒f(x) crescatoare pe R ⇒f(x) =0 ia o singura valoare reala

dar f(x) este un polinom de grad3, deci are 3 radacini ( Consecinta  Teorema Fundamental a algebrei)

deci radacina este tripla (si este chiar x=1)

deci f(x) =(x-1)³= x³-3x²+3x-1=X^3-3X^2+3X-a

identificand coeficientii, a=1

EXTRA;

Multumesc, Profesor univ Savu, autor subiecte BAC si conducator colective elaborare  culegeri  acum 20-10 ani, de unde am invatat si eu de la indicatii si raspunsuri.