Question

Se consideră polinomul f = X^3 -7X^2 + mX -8, unde m este număr real.
a) Arătați că f(-1) + f(1) = -30, pentru orice număr real m .
b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la X^2 -3X +1 știind că f se divide cu X − 2.
c) Determinați numărul real m pentru care polinomul f are trei rădăcini reale pozitive, în progresie geometrică.



Am făcut primele două puncte, am răspunsul la punctul c) dar nu înțeleg de unde toate alea, poate sa îmi explice cineva?

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Fie x1, x2, x3 rădăcinile polinomului f.

Reamintim de la progresii geometrice faptul că: dacă 3 numere se află în progresie geometrică atunci termenul din mijloc la pătrat reprezintă produsul celor doi termeni care-l însoțesc.

Altfel spus, dacă x1, x2, x3 în progresie geometrică atunci: $x2^{2}$=x1*x3. Dacă încă nu îți este clar, revizuiește teoria la progresii.

Plecând de la premisa că $x2^{2}$=x1*x3, vom înmulți această ecuație cu un x2 pentru a ajunge la una dintre formulele lui Viète conform căreia x1*x2*x3=-d/a, în cazul nostru x1*x2*x3=-(-8)/1=8.

Înmulțind, așadar $x2^{2}$=x1*x3 cu x2 obținem x1*x2*x3=$x2^{3}$=8 de unde rezultă că x2=2 deoarece $2^{3}$=8. Am aflat că 2 este rădăcină.

Reamintim, dacă a este rădăcină pentru polinom, atunci f(a)=0. În cazul nostru, 2 este rădăcină deci f(2) trebuie să fie 0.

f(2)=$2^{3}-7*2^{2}+m*2-8$=0

8-28+2m-8=0

2m=28

m=14.

Sper că ai înțeles.