Question

se considera polinomul f=X^3+mX^2+mX+1,m nr.real.calculati f(-1)si determinati valorile reale ale lui m pt care toate radacinile polinomului  f sunt reale.

Answer 1

$f_{(-1)}= -1+m-m+1 =0$

Asta înseamnă că -1 este rădăcină a funcţiei indiferent de valoarea lui m.

Facem schema lui Horner (am lăsat-o în imagine) şi vedem că polinomul o să se scrie sub forma:

$f_{(x)}=(x+1)(x^2+(m-1)x+1)$

Îl calculăm pe delta din a doua ecuaţie:

[tex](x^2+(m-1)x+1) = 0\\ delta= (m-1)^2-4[/tex]

Pentru ca ecuaţia să aibă rădăcini reale şi diferite trebuie ca delta să fie mai mare ca 0.

$(m-1)^2-4 ≥ 0$

Rezolvând inecuaţia, afli pe ce interval trebuie să fie m astfel încât funcţia să aibă rădăcini reale.

Answer 2

f(-1)=-x+m-m+1=0

x³+mx²+mx+1=0
x³+1+mx(x+1)=0
(x+1)(x²-x+1)+mx(x+1)=0
(x+1)(x²-x+1+mx)=0
x=-1 ∈R
x²+(m-1)+1=0
Δ=(m-1)²-4=(m-1-2)(m-1+2)=(m-3)(m+1)≥0
m∈(- inf, -1]  U [3,+inf)