Question

Se considera polinomul f(x)= x^3 + x^2 + x + 1. Să se calculeze valoarea expresiei (1-x1) (1-x2) (1-x3).

Answer 1

Dupa cum se poate observa, in rezolvarea acestui tip de ex trebuie sa folosim formulele lui Viete:
S1=x1+x2+x3=-b/a
S2=x1x2+x2x3+x1x3=c/a
S3=x1x2x3x=-d/a

Deci, in cazu nostru, pt f(x)=x³+x²+x+1, a=1, b=1, c=1, d=1;
Aflam sumele:
S1=x1+x2+x3=-b/a=-1
S2=x1x2+x2x3+x1x3=c/a=1
S3=x1x2x3=-d/a=-1

Rezolvam expresia:
(1-x1)(1-x2)(1-x3)=
=(1-x2-x1+x1x2)(1-x3)=
=1-x2-x1+x1x2-x3+x2x3+x1x3-x1x2x3=
=1-(x1+x2+x3)+(x1x2+x2x3+x1x3)-x1x2x3=
=1-S1+S2-S3=
=1-(-1)+1-(-1)=1+1+1+1=
=4

Answer 2

Daca x1,x2,x3 sunt radacini ale polinomului atunci :
f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=(x-x1)(x-x2)(x-x3), unde a=1,coeficient dominant
pentru x=1 avem:
f(1)=(1-x1)(1-x2)(1-x3)=1+1+1+1=4
Deci:(1-x1)(1-x2)(1-x3)=4