Question

Se consideră polinomul f = X³ - 3X² -6X + 8 .


Demonstrați că (x₁+1)² + (x₂+1) ²+ (x₃+1)² =30, unde x₁, x₂ si x₃ sunt rădăcinile
polinomului f

Answer 1

Descompui fiecare paranteză pentru ca, mai apoi, să te poți folosi de relațiile lui Viete.
Prin urmare, (x1+1)^2 + (x2+1)^2 + (x3+1)^2 = x1^2 + x2^2 + x3^2 + 2(x1 + x2 + x3)+3

Din această relație, separat, ai formula de la prima parte:
x1^2 + x2^2 + x3^2 = (x1 + x2 + x3)^2 - 2(x1*x2 + x1*x3 + x2*x3)

Înlocuind în prima ecuație, vei obține:
(x1 + x2 + x3)^2 - 2(x1*x2 + x1*x3 + x2*x3) + 2(x1 + x2 + x3) + 3

Conform relațiilor lui Viete, ai:
x1 + x2 + x3= -(b/a)
x1*x2 + x1*x3 + x2*x3= c/a
Unde, aX3 + bX2 + cX + d, în cazul nostru fiind: a=1 / b=-3 / c=-6 / d=8

Înlocuirile le faci tu.