Question

Se considera polinomul f = X⁴ + 2X³ + aX² + bX + c ∈ IR [X], cu radacinile x₁, x₂, x₃, x₄. Stiind ca radacinile polinomului f sunt in progresie aritmetica, sa se demonstreze ca b = a - 1.

Answer 1

x₁         , x ₂  , x ₃  , x₄  in prog. aritm.   se renoteaza  : 
a - 3r   , a -r   , a + r  , a + 3r 
S₁ =x₁ + x₂ +x₃ +x₄  = a - 3r + a - r + a +r + a  + 3r  = -  2 /1 = -2 
                                    4a =  - 2     ;  a = - 2 / 4 = -1/ 2 
radacinile  :   -1 /2  -3r   ,  - 1 /2  -r   , -1/2 + r  , -1/2  + 3r 
S₂ =(  x₁ +x₂) ( x₃ + x₄ ) + x₁x₂ + x₃x₄  = + a / 1  = a 
S₂ = ( -1 - 4r) ( -1 + 4r) + ( 1/2  + 3r) ( 1 /2 +r)  + ( 1 /2  -r) ( 1 /2 -3r) 
S₂ = 1 - 16r² + 1/4  +3r /2 + r/2 + 3r² +1/4 -r/2 -3r/2 +3r²
S₂ = 3/2   - 10 r²  =a     ; 10r² = 3/2 -a
S₃ = x₁x₂ (x₃ +x₄ ) + x₃x₄ ( x₁ +x₂ ) =  - b
S₃ = (1 /2 + 3r) ( 1/2 +r) ( -1 +4r) + ( 1/2 - r) ( 1 /2 - 3r) ( -1 - 4r)  = - b 
( 1/2 +3r) ( 1/2 +r) ( 4r - 1)  -  ( 1/2 -r) (1/ 2 -3r) (4r + 1) = 
= ( 1 /4 + 3r/2 +r/2 +3r² ) ( 4r -1) - ( 1/4 -r/2 -3r/2 +3r²) ( 4r + 1) =
= r + 12r²/2 +4r²/2 +12r³-1/4 -3r/2 -r/2 -3r²-r +4r²/2 +12r²/2 -12r³-1/4 +r/2+3r/2 -3r²=
=10r² - 2/4  =10r²  -  1 /2  = - b 
concluzie :  
din               10r²   =  3 /2  - a 
                    10r² =  1 /2  - b   
------------------------------------------------
le scadem  10r² -10r² = 3 /2 - a - 1 /2  + b 
0 = 1 - a +b 
         ⇒         b = a  - 1

daca        ax³ +bx² +cx +d = 0      , a≠0 
are rad. in prog . aritm 
se noteaza  :    a -r , a  ,  a + r 

Answer 2

Pentru a simplifica si mai mult calculele, putem sa folosim mai avantajos ipoteza ca x₁,x₂,x₃,x₄ sunt in progresie aritmetica. Iata cum:
[tex]\text{Deoarece $x_,x_2,x_3,x_4$ sunt termenii consecutivi ai unei progresii:}\\ \boxed{x_1+x_4=x_2+x_3}\\ S_1=x_1+x_2+x_3+x_4=-2\Rightarrow x_1+x_4=x_2+x_3=-1\\ S_2=x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_3x_4+x_2x_4=\\ (x_1+x_4)(x_2+x_3)+x_1x_4+x_2x_3=(-1)(-1)+x_1x_4+x_2x_3=a \Rightarrow\\ x_1x_4+x_2x_3=a-1\\ S_3=x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=\\ =x_1x_4(x_3+x_2)+x_2x_3(x_1+x_4)=-x_1x_4-x_2x_3=\\ =-(a-1)=-b\Rightarrow b=a-1\ qed\\ [/tex]