Question

Se consideră polinomul $\displaystyle\\f = (2x^2 - x - 1)^{10} \in \mathbb{R}[x]$ cu rădăcinile $x_1$ , $x_2$ , ....... , $x_{20}$ .

a) Demonstrați că polinomul f se divide cu $\displaystyle\\(2x+1)^{10}$

b) Calculați $\displaystyle\\x_1 + x_2 + ...... + x_{20}$

Answer 1

Se face urmatoarea prelucrare:

$2x^2-x-1=2x^2-2x+x-1=2x(x-1)+(x-1)=(2x+1)(x-1)$

Astfel pentru punctul a =>

$a)\;f=[(2x+1)(x-1)]^{10}=(2x+1)^{10}(x-1)^{10} = > f \;\;\vdots\;\; (2x+1)^{10}$

b) Din subpunctul 'a' am obtinut ca:

$f=(2x+1)^{10}(x-1)^{10}$

Din aceasta obtinem urmatoarele informatii:

$1) x=\frac{-1}{2} \;este\;radacina\;de\;ordinul\;10\\x_{1}=x_{2}=x_{3}=...=x_{10}=\frac{-1}{2}\\S_1=x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{10}=10*\frac{-1}{2}=-5$

$2) x=1 \;este\;radacina\;de\;ordinul\;10\\x_{11}=x_{12}=x_{13}=...=x_{20}=1\\S_2=x_{11}+x_{12}+x_{13}+...+x_{20}=10*1=10$

=> $S=x_{1}+x_{2}+...+x_{10}+x_{11}+...+x_{20}=S_1+S_2=-5+10=5$