Question

Se consideră punctele A(1,3) , B(3,5) și C(4,0) . Să se determine lungimea înălțimiii din A și a medianei din A

Answer 1

Presupun ca cele trei puncte sunt varfurile unui triunghi ABC.

In primul rand, pentru a afla lungimea inaltimii din A, trebuie sa aflu distanta de la punctul A la dreapta BC:

$d(A,BC)=\frac{|ax_A+by_A+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Unde ax+by+c este ecuatia dreptei BC pe care o aflam astfel:
$BC:\frac{y-y_B}{y_C-y_B}=\frac{x-x_B}{x_C-x_B} \\ Inlocuim \ si \ obtinem: \\BC:\frac{y-5}{0-5}=\frac{x-3}{4-3} \Rightarrow BC:\frac{y-5}{-5}=\frac{x-3}{1}|*(-5) \Rightarrow \\ \Rightarrow BC:y-5=-5(x-3) \Rightarrow BC:y-5=-5x+15\Rightarrow \\ \Rightarrow BC:5x+y-5-15=0 \Rightarrow BC:5x+y-20=0$

Nota: Acolo unde am inmultit cu (-1), de fapt am adus la acelasi numitor care este -5.

Avem ecuatia 5x+y-20, dar in loc de x si y inlocuim cu valorile lui xA si yA:

$d(A,BC)=\frac{|5*1+1*3-20|}{\sqrt{5^2+1^2}}=\frac{|5+3-20|}{\sqrt{26}} \Rightarrow d(A,BC)=\frac{12}{\sqrt{26}}$

Aceasta este de fapt lungimea inaltimii din A.

Ca sa aflam lungimea medianei, noi trebuie sa cunoastem coordonatele mijlocului unui segment, in cazul nostru BC:

$x_M=\frac{x_B+x_C}{2} \Rightarrow x_M=\frac{3+4}{2} \Rightarrow x_M=\frac{7}{2} \\ y_M=\frac{y_B+y_C}{2}\Rightarrow y_M=\frac{5+0}{2} \Rightarrow y_M=\frac{5}{2} \\\\ \Rightarrow M(\frac{7}{2},\frac{5}{2}) - mijlocul \ segmentului \ [BC]$

Stim ca mediana este segmentul de dreapta care uneste varful cu mijlocul laturii opuse, atunci aflam pur si simplu lungimea medianei AM:
$AM=\sqrt{(x_M-x_A)^2+(y_M-y_A)^2} \Rightarrow AM=\sqrt{(\frac{7}{2}-1)^2+(\frac{5}{2}-3)^2} \Rightarrow \\ \Rightarrow AM = \sqrt{(\frac{5}{2})^2+(-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{25}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt\frac{26}{4} \Rightarrow AM = \frac{\sqrt{26}}{2}$

Aceasta este lungimea medianei.