Question

Se consideră punctele coliniare M, N şi P, iar punctul O exterior dreptei MP.
faţă de punctul O şi cu C simetricul punctului M față de punctul O. Demonstrați că:
Notăm cu A simetricul punctului P față de punctul O, cu B simetricul punctului N
a) Patrulaterul MNCB este paralelogram.
b) Patrulaterul ANPB este paralelogram.
c) Punctele A, B şi C sunt coliniare.

Answer 1

Explicație pas cu pas:

(1) B este simetricul punctului N față de punctul O => BO ≡ NO

(2) C este simetricul punctului M față de punctul O => CO ≡ MO

(3) A este simetricul punctului P față de punctul O => AO ≡ PO

a)

din (1),(2) și ∢BOC ≡ ∢NOM (opuse la vârf)

ΔBOC ≡ ΔNOM (cazul L.U.L.)

=> BC ≡ NM (4)

din (1),(2) și ∢BOM ≡ ∢NOC (opuse la vârf)

ΔBOM ≡ ΔNOC (cazul L.U.L.)

=> BM ≡ NC (5)

din (4) și (5) => patrulaterul MNCB este paralelogram

b)

din (1),(3) și ∢AOB ≡ ∢PON (opuse la vârf)

ΔAOB ≡ ΔPON (cazul L.U.L.)

=> AB ≡ PN (6)

din (1),(3) și ∢AON ≡ ∢POB (opuse la vârf)

ΔAON ≡ ΔPOB (cazul L.U.L.)

=> AN ≡ PB (7)

din (6) și (7) => patrulaterul ANPB este paralelogram

c)

din (a) => BC || MN <=> BC || MP

din (b) => AB || PN <=> AB || PN

punctele M, N şi P sunt coliniare

=> punctele A, B şi C sunt coliniare

(printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singură paralelă la dreapta dată)

q.e.d.