Question

Se considera punctele O(0,0) , A(3,0), B(0,2) ,M(3,-3) , N(-2,2) . Demonstrați ca dreptele AN, BM, și perpendiculara din O pe AB sunt concurente.

Answer 1

O(0,0) , A(3,0), B(0,2) ,M(3,-3) , N(-2,2)

Ecuatia dreptei prin punctele A(xA; yA) si B(xB, yB) este :

d: (x-xA)/(xB-xA)=(y-yA)/(yB-yA)

AN: (x-3)/(-2-3)=(y-0)/(2-0)

AN: 2x-6=-5y

AN: 2x+5y-6=0

BM: (x-0)/(3-0)=(y-2)/(-3-2)

BM:-5x=3y-6

BM: 5x+3y-6=0

AB:  (x-3)/(0-3)=(y-0)/(2-0)

AB: 2x-6=-3y

AB: 2x+3y-6=0

panta AB este m= -2/3

Panta perpendicularei este m1=-1/m=3/2

O(0,0) si AB: 2x+3y-6=0

Ecuatia dreptei perpendiculare dusa din A(xA,yA) are formula:

y-yA=m1(x-xA)

=> ecuatia dreptei perpendiculara dusa din O pe AB este

d1: y-0=3/2(x-0)

d1: 3x-2y=0

Din AN intersectat cu BM =>

2x+5y-6=0    /*5

5x+3y-6=0    /*2  

10x+25y-30=0

10x+6y-12=0   (-)

19y-18=0=> y=18/19 => x=(6-  90/19)/2

x=3  -45/19 =12/19  si y=18/19

Puncul de intersectie al dreptelor AN si BM=P(12/19; 18/19)

verificam coordonatele punctului P pentru dreapta d1

3•12/19 -2•18/19=0

36/19-36/19=0 (Adevarat) => P∈d1

=> dreptele AN, BM, și perpendiculara din O pe AB sunt concurente