Question

Se considera punctul A(1,2) si dreapta d: 2x-y-4=0.
a) Determinati coordonatele proiectiei punctului A pe dreapta d
b) Determinati coordonatele simetricului punctului A fata de dreapta d

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a)

$d(A,d) = \frac{ |2 \times 1 + ( - 1) \times 2 + ( - 4)| }{ \sqrt{ {2}^{2} + {( - 1)}^{2} } } = \frac{ |2 - 2 - 4| }{ \sqrt{4 + 1} } = \frac{ | - 4| }{ \sqrt{5} } = \frac{4 \sqrt{5} }{5}$

b)

$d: 2x - y - 4 = 0 <=> d: y=2x-4$

Simetricul lui A(1,2) se afla pe dreapta d', care trece prin A si este perpendiculara pe d:

panta lui d:

$md = 2$

$=> md' = - \frac{ 1}{md} = - \frac{1}{2} \\ d': y - 2 = (- \frac{1}{2} ) \times (x-1) \\ <=> d':  2y+x-5=0$

punctul de intersecție dintre dreptele d si d':

$d = d' = > 2x - 4 = \frac{ - x + 5}{2} \\ 4x - 8 = - x + 5 \\ 5x = 13 = > x = \frac{13}{5} \\ y = \frac{26}{5} - 4 = > y = \frac{6}{5} \\ = > B( \frac{13}{5} ; \frac{6}{5} )$

A'(a,b) simetricul punctului A fata de B, atunci B este mijlocul segmentului AA', deci:

$\frac{a + 1}{2} = \frac{13}{5} = > a = \frac{21}{5} \\ \frac{b + 2}{2} = \frac{6}{5} = > b = \frac{2}{5} \\ = > A'(\frac{21}{5};\frac{2}{5})$