Question

Se considera segmentlel [AB] si [CD] avand acelas mijloc O.Demonstrati ca AD || BC si AC || BD.

Answer 1

Metoda 1

Unim: A cu C, B cu C, A cu D, B cu D

Obtinem un patrulater ACBD cu diagonalele (AB si CD) care se

injumatatesc (se intersecteaza in O care este jumatatea ambelor

segmente) ⇒ ACBD paralelogram ⇒ AD||BC si AC||BD (din proprietatile

paralelogramului).

----------------------------------------------------------------------------------

Metoda 2

Unim A cu C, B cu C, A cu D, B cu D si obtinem un patrulater ACBD, si triunghiurile BOD, DOA, AOC, COB

O mijlocul lui AB ⇒ AO=OB  (1)

O mijlocul lui CD ⇒ CO=OD (2)

CD si AB se intersecteaza in O ⇒ (pentru ca sunt unghiuri opuse la varf)

∡COB≡∡AOD  (3)

∡COA≡∡BOD  (4)

Din relatiile (1), (2) si (3) ⇒ ΔCOB≡ΔDOA  ⇒ CB≡AD  (a)

Din relatiile (1), (2) si (4) ⇒ ΔCOA≡ΔDOB ⇒ AC≡BD   (b)


Din relatiile (a) si (b) ⇒ (Pentru ca laturile opuse ale patrulaterului sunt

congruente)  ACBD  paralelogram ⇒ AD||BC si AC||BD (din proprietatile 

paralelogramului).