Question

Se considera segmentul [AB] de lungime AB=N, n apartine N, > sau egal cu 2 si punctele M1, M2,...Mn respectiv mijloacele segmentelor [AB], [AM1],..., [AMn-1]. Determinati numarul natural n, stiind ca AB+ AM1+...+AMn=35840

Va rog mult de tot! Am nevoie

Answer 1

Ca sa reformulam ipoteza: M1 este mijlocul lui [AB], M2 este mijlocul lui AM1, M3 este mijlocul lui AM2, pana la An

De fiecare deta se injumatateste segmentul, si la noua jumatate se va injumatati si ea, si tot asa.

[tex]AB=n\\AM_1= \frac{AB}{2}= \frac{1}{2} n\\ AM_2= \frac{AM_1}{2}= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} n= \frac{1}{2^2}n\\ AM_3= \frac{AM_4}{2}= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^2} n= \frac{1}{2^3}n [/tex]

Se observa ca formula generala pentru AMn este:
$AM_n= \frac{1}{2^n} n$

[tex]S=AB+AM_1+AM_2+...+AM_n=n+ \frac{1}{2^1} n+ \frac{1}{2^2} n+...+ \frac{1}{2^n} n\\ S=n(1+ \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} +...+ \frac{1}{2^n})[/tex]

Inmultim cu 1/2 in ambii membri:
$\frac{1}{2} S=n( \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} +...+ \frac{1}{2^n} + \frac{1}{2^{n+1}} )$

Se observa ca suma tuturor termenilor, mai putin ultimul, se regasec in S:
[tex] \frac{1}{2}S=S-n+n\cdot \frac{1}{2^{n+1}}\\ \frac{1}{2}S=n-n\cdot \frac{1}{2^{n+1}}\\ S=2n(1- \frac{1}{2^{n+1}} )= n\cdot\frac{2^{n+1}-1}{2^n}=n(2 - \frac{1}{2^n} ) \\ n(2 - \frac{1}{2^n} )=35840[/tex]

Fie 2 - 1/(2^n) = k, deci S = n * k

1 ≤ 2 - 1/(2^n) < 2  ==>  1 ≤ k < 2

In cel mai rau caz, k poate fi 1, iar in cel mai bun este un numar foarte aproape de 2, dar noi o sa-l consideram fiind chiar 2

[tex]k_{min}=1 \rightarrow n\cdot k_{min}=35840\rightarrow n\cdot1=35840\rightarrow n=35840\\ k_{max}=2 \rightarrow n\cdot k_{max}=35840\rightarrow n\cdot 2=35840\rightarrow n=17920[/tex]

Asadar n este cuprins intre 17920 si 35480

Cu cat n este mai mare, cu atat 2^n este mai mare, deci numitorul din fractia 1/(2^n) este mai mare  ==>  fractia va fi mai mica ==> Pentru k = 2 - (2^n), se va scadea mai putin din 2
Pe scurt, cu cat n e mai mare, cu atat k este mai aproape de 2

Cand n este foarte foarte mare, putem spune ca k = 2

Am stabilit mai sus ca 17920 ≤ n < 35480
Vom incerca sa dam cateva valori lui n:

Daca n ar fi 17920:
Cum 17920 este un numar relativ mare, k va fi foarte aproape de 2 (k=1,9999...), asa ca-l putem aproxima k = 2.
Daca inlocuim: S = n * k -= 17920 * 2 = 35480

Daca n ar fi 17921:
17921 este un numar si mai mare, deci k va fi si mai aproape de 2. Daca il consideram din nou k = 2:
S = n  * k = 17921 * 2 = 35842 > 35480 - este prea mare

Acum, cu cat n creste, suma va creste, si nu mai are rost sa verificam, deci cea mai apropiata valoare naturala a lui n este 17920