Question

Se considera sirul (a de n) cu n >= 1 definit prin : a de 1 = 1/3,a de n+1 = a de n(/1+a de n)
a) Calculati a de 2,a de 3,a de 4
b) Determinati a de n , n apartine N*
Va roooggg sa ma ajutati!

Answer 1

a2=a1/(1+1/3)=1/3)/(4/3)=1/4
a3=a2/(1+a2)=(1/4)/(1+1/4)=(1/4)/(5/4)=1/5
a4=a3/(1+a3)=1/5/(1+1/5)=1/6
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b) Inductie.
 Observi  mai  sus  ca   termenul  de  rang  n  adica an  este  o  fractie  cu  numaratorul  1  si  numitorul  n+2.Presupui  an=1/(n+2)Verifici  daca  an =>an+1
an=1/(n+2)
an+1=1/[(n+1)+1]=1/(n+3)  Relatia1
Dar  conf  legii  de  definire  an+1=an/(1+an)  , adica
an+1=[1/(n+2)]/[1+1/(1+1/(n+2)]=[1/(n+2)]/[( n+2+1)/(n+2)]=1/(n+2):(n+3)/(n+2)
1/(n+2)*(n+2)/(n+3)=1/(n+3) ai  obtiut rel  1,deci an=>an+1
an=1/(n+3)