Question

Se considera sirul (an)n≥1 .Stiind ca pentru orice n ∈N* are loc egalitatea a1+a2+a3+....+an=n²+n, sa se demonstreze ca sirul (an)n≥1 este progresie aritmetica
Multumesc de ajutor !

Answer 1

suma de n termeni        Sn =a₁ +a₂ +.... +an           = n² +n 
       n +1               S(n+1) = a₁+a₂+... +  an + a(n +1) = ( n +1) ² +n +1 
       n +2               S( n +2) =a₁ +........... +an +a( n +1) +a( n +2)  =( n +2)²+n+2 
      n +3               S(n+3)  =a₁ + ..... + an +a( n +1)+a( n+2) +a( n+3)=( n +3)²+n+3 
S(n+1)  -  Sn = a( n+1) = ( n+1)² +n +1 - n² -n = 
                      a( n +1) =n² +2n +1 +1 -n² = 2n +2 
S(n+2) - S(n+1) =a( n+2) = n²+4n+4 +n+2  - n² -2n -1 - n  - 1 = 2n + 4 
S(n+3) - S (n +2) = a(n +3) = n² +6n+ 9 + n+3  - n² -4n -4  -n - 2 = 2n + 6 
este progresie aritmetica DACA : 
              2· a( n +2) = a(n +1) + a( n +2) 
             2 · ( 2n + 4) = 2n +2   +  2n + 6      adevarat