Question

Se considera sirul de integrale cu termenul general $I$ indice $n$$=$$\int\limits^1_0 {(1-x^{2})^{n} } \, dx$. Demonstrati ca sirul este convergent.

Answer 1

[tex]x\in[0,1]\Rightarrow 1-x^2 \in[0,1]\Rightarrow (1-x^2)^n\ \textgreater \ (1-x^2)^{n+1} [/tex]
Integram pe [0,1] si obtinem ca sirul $(I_n)$ este descrescator.
Aplicam de asemenea proprietatea de monotonie a integraelei pentru inegalitatile
$0\ \leq \ (1-x^2)^n\ \leq \ 1$
si obtinem ca 
$0\leq I_n\leq 1,\forall n\in N$
Deci sirul $(I_n)$ este si marginit
Conform teoremei lui Weierstrass sirul $(I_n)$ este convergent