Question

Se considera sirul de numere reale (xn)n>=1,Sn=x1+x2+...+xn,n€N\{0}.Stiind ca 2Sn=3^n-1,sa se demonstreze ca (xn)n>=1 este progresie geometrica.

Answer 1

2Sn =  3^n   -1 
2Sn+1=  3^n ·3 ¹   -1 
 2Sn+2   = 3^n · 3²   -1 
2Sn+3 =  3^n·3³    -1  
2Sn+1 - 2Sn = x (n+1)  = 2· 3^n
2Sn+2   - 2Sn+1 = x( n+2) = 6·3^n
2Sn+3 - 2Sn+2 = x( n+3) = 18·3^n
propriet: a,   b ,    c  numere pozitive sunt in progresie geometrica daca 
                   b² =a ·c            sau   b=√ac
(  6·3^n  ) ²    = 2 ·3^n  · 18·3^n   , adevarat ⇒  xn =progresie geometrica

Answer 2

[tex]S_n=\frac{3^n-1}{2}\\ x_n=S_{n}-S_{n-1}=\frac{3^n-1}{2}-\frac{3^{n-1}-1}{2}=\frac{3^n-3^{n-1}}{2}=3^{n-1}\frac{3-1}{2}=\\=3^{n-1}, \forall\ n \geq 2\\ \frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{3^{n}}{3^{n-1}}=3=constant,\ \forall\ n\geq1 [/tex]
Am demonstrat ca raportul dintre oricare doi termeni consecutivi ai sirului este constant, de unde rezulta ca (xn) este progresie geometrica.