Question

Se consideră sistemul :
{ 2 x + ay + az = 1
3 x + (2 a - 1) y + az = a
(a - 3)x + ay + az = 3 a - 2. Să se afle a aparține R astfel încât sistemul să fie compatibil nedeterminat.
a) a = 1
b) a = 0 ; c) a = - 1 ; d) a = 4
e) a = 2
f) a = - 2​

Answer 1

Pentru ca sistemul sa fie compatibil nedeterminat, trebuie ca$rangA=rang\overline{A} < n$
unde n este numarul necunoscutelor.
Pentru ca rangul lui A sa fie mai mic decat numarul necunoscutelor, determinantul sau trebuie sa fie 0.
$\left| \begin{array}{ccc}2 & a & a \\3 & 2a-1 & a \\a-3 & a & a \end{array} \right|=0$
$\left| \begin{array}{ccc}2 & a & a \\3 & 2a-1 & a \\a-3 & a & a \end{array} \right|=2a(a-1)+3a^2+a^2(a-3)-a(2a-1)(a-3)-2a^2-3a^2=$
$=2a^2-2a+a^3-3a^2-(2a^2-a)(a-3)-2a^2=$
$=-2a+a^3-3a^2-2a^3+6a^2+a^2-3a=$
$=-a^3+4a^2-5a$

Deci $-a^3+4a^2-5a=0$
$-a(a^2-4a+5)=0$
⇒ $a=0$ (fiindca ecuatia de gradul doi de mai sus nu are solutii reale)