Question

se considera sistemul:  x-2y+3z=-3
                                  2x+y+z=4
                                   mx-y+4z=1
Sa se determine m∈R

Answer 1

  x -  2y  + 3z = - 3
2x +   y    +  z =  4
mx  -   y    + 4z = 1  

Cautam m a.i.  sistemul sa fie verificat de solutia:  (2,  1,  -1)

Deoarece doar ultima ecuatie are parametrul m, analizam
primele 2 ecuatii sa vedem daca sunt verificate de solutia (2,  1,  -1)

x - 2y + 3z = -3    ⇒    2 - 2 - 3 = -3        ≡
2x + y + z = 4      ⇒   4 +1 - 1 = 4          ≡

⇒ Primele 2 ecuatii sunt verificate de solutia (2,  1,   -1)

Inlocuim necunoscutele din a 3-a ecuatie cu valorile din solutia data si ilcalculam pe M astfel incat sa se obtina egalitate.

mx - y + 4z = 1    cu solutia (2, 1, -1)

⇒2m -1 -4 = 1
2m - 5 = 1
2m = 6
m = 6/2 = 3
⇒ m = 3
---------------------
Rescriem sistemul:

  x - 2y + 3z = -3
2x +  y +  z = 4
3x  - y  + 4z = 1

(2, 1, -1) este solutie a sistemului, dar observam ca 
ecuatia a 3-a este egala cu suma primelor 2 ecuati.

Asta inseamna ca sistemul are ecuatiile dependente intre ele,
motiv pentru care sistemul admite o infinitate de solutii,
printre care si solutia din enunt.