Question

Se considera suma S=2+2^2+2^3+....+2^2004.Aratati ca S este divizibil cu 5 si cu 7

Answer 1

$\bf S = 2^{1} + 2^{2} + 2^{3} +2^{4}+ ....+ 2^{2004}$

Grupăm câte 4 termeni și dăm factor comun pe 2 la puterea cea mai mică.

$S = 2^{1}\cdot \Big( 2^{1-1} + 2^{2-1} + 2^{3-1} +2^{4-1} \Big)+...+ 2^{2001}\cdot \Big( 2^{0} + 2^{1} + 2^{2} +2^{3} \Big)$

$S = 2^{1}\cdot \Big( 2^{0} + 2^{1} + 2^{2} +2^{3} \Big)+...+ 2^{2001}\cdot \Big( 2^{0} + 2^{1} + 2^{2} +2^{3} \Big)$

$S = 2^{1}\cdot \Big( 1 + 2 + 4 +8\Big)+...+ 2^{2001}\cdot \Big( 1 + 2 + 4 +8 \Big)$

$S = 2^{1}\cdot 15+...+ 2^{2001}\cdot 15$

$S = 15\cdot \Big( 2^{1}+2^{5}+2^{9} +2^{13}+...+ 2^{2001}\Big)$

$\pink{\boxed{~S = 3\cdot 5\cdot \Big(2^{1}+2^{5}+2^{9} +...+ 2^{2001}\Big)~\vdots~5~}}$

_____________________________ 

$\bf S = 2^{1} + 2^{2} + 2^{3} +2^{4}+ ....+ 2^{2004}$

Grupăm câte 3 termeni și dăm factor comun pe 2 la puterea cea mai mică.

$S = 2^{1}\cdot \Big( 2^{1-1} + 2^{2-1} + 2^{3-1} \Big)+...+ 2^{2002}\cdot \Big( 2^{0} + 2^{1} + 2^{2} \Big)$

$S = 2^{1}\cdot \Big( 2^{0} + 2^{1} + 2^{2} \Big)+...+ 2^{2002}\cdot \Big( 2^{0} + 2^{1} + 2^{2} \Big)$

$S = 2^{1}\cdot \Big( 1 + 2 +4\Big)+...+ 2^{2002}\cdot \Big( 1 + 2 +4\Big)$

$S = 2^{1}\cdot 7+...+ 2^{2002}\cdot 7$

$\purple{\boxed{~S = 7\cdot \Big( 2^{1}+2^{4}+2^{8} +...+ 2^{2002}\Big)~\vdots~7~}}$

$==pav38==$